数学期望公式

数学期望是概率论与统计学中的一个重要概念，用于描述一个随机变量在大量重复试验中所表现出的平均值。它不仅在理论研究中具有重要意义，在实际应用中也广泛用于风险评估、决策分析、金融建模等领域。本文将对数学期望的基本公式进行总结，并通过表格形式展示其不同情况下的表达方式。

一、数学期望的基本概念

数学期望（Expected Value），通常用符号 $ E(X) $ 表示，是对随机变量 $ X $ 的一种长期平均值的度量。它的计算依赖于随机变量的分布类型，可以是离散型或连续型。

二、数学期望的公式总结

1. 离散型随机变量的数学期望

对于离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则数学期望公式为：

$$

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i

$$

2. 连续型随机变量的数学期望

对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望公式为：

$$

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx

$$

3. 线性性质

数学期望具有线性性质，即：

$$

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)

$$

其中 $ a $ 和 $ b $ 为常数，$ X $ 和 $ Y $ 为两个随机变量。

4. 条件期望

若已知事件 $ A $ 发生，随机变量 $ X $ 的条件期望为：

$$

E(X