分部积分法介绍

更新日期：2026-11-12 08:13:15

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分部积分法介绍

内容

在处理不定积分时，大家常会遇到一种情况：被积函数是两个不同类型函数的乘积，比如 $x$ 乘以 $\sin x$，或者 $e^x$ 乘以 $\ln x$。这时候直接凑微分往往行不通，而这就轮到了“分部积分法”登场了。简单来说，它就像是微分乘积法则的逆运算，核心思想是把一个难算的积分，“拆”成两个好算的部分，通过交换求导和求积的对象来简化问题。

核心公式与原理

分部积分法的数学本质来源于乘法求导公式 $(uv)' = u'v + uv'$ 的移项变形。在积分中，我们将它写成如下形式（这是解题的根本）：

$$ \int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u $$

记住这个公式时，有个关键点常被忽略：$\mathrm{d}u$ 和 $\mathrm{d}v$ 必须对应。也就是说，你选了哪一部分作为 $u$，剩下的部分就必须包含 $\mathrm{d}v$ 的因子。如果选错了对象，不仅算不出结果，还会越算越复杂，陷入死循环。

怎么选 $u$ 和 $\mathrm{d}v$？（经验法则）

很多时候算不对不是公式不会用，而是选反了方向。为了帮大家快速决策，下面总结了不同函数类型的优先级。一般遵循 LIATE 原则（优先度从高到低），但在实际做题时，灵活判断更重要。

函数类型组合	建议选取 $u$	选取理由	注意事项
:	:	:	:
对数 × 幂函数/指数	对数函数 ($\ln x$)	求导后次数降低或变为代数式	避免把幂函数选为 $u$，否则幂次不变且更复杂
反三角 × 幂函数	反三角函数	求导后可化为有理函数	常见考点，注意定义域
指数 × 三角	两者皆可（需连做两次）	形成循环积分，通过移项解出	记得中间不要漏掉常数 $C$
纯幂函数 × $\mathrm{d}x$	幂函数以外的部分	若只有多项式，通常不用于分部	特殊情况如 $x^n e^x$
混合多类函数	按“对、反、代、三、指”顺序	排在靠前的函数设为 $u$	记忆口诀：“对反代代指”

典型题型实战拆解

光看理论比较抽象，我们来看几个高频考题的处理逻辑。很多同学在第二步积分时容易出错，表格中特别标注了步骤细节。

典型案例	设定 $u, \mathrm{d}v$	计算过程关键点	易错提醒
:	:	:	:
$\int x e^x \mathrm{d}x$	$u=x, \mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$ $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x, v=e^x$	转化为 $\int e^x \mathrm{d}x$ 即 $xe^x - e^x + C$	别忘了最后的 $+C$
$\int \ln x \mathrm{d}x$	$u=\ln x, \mathrm{d}v=\mathrm{d}x$ $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x, v=x$	转化为 $\int 1 \mathrm{d}x$ 即 $x\ln x - x + C$	此时看似没变，实则消掉了对数
$\int e^x \sin x \mathrm{d}x$	先设 $u=\sin x$ 第二次换元后回到原形	出现循环：$I = A - I$ 解方程得 $I = \frac{A}{2}$	移项时符号极易搞混，建议两边加 $I$
$\int x \arctan x \mathrm{d}x$	$u=\arctan x$	利用 $v = \frac{1}{2}(1+x^2)$ 简化后续	分式积分时尽量约分化简后再积

总结一下

分部积分法本质上是一种“交易”，用求导权换取积分权。如果你的目标是让某个函数变得更简单（比如从超越函数变成代数函数），就把那个复杂函数设为 $u$；如果你发现某个函数积分后变得极其复杂（比如 $\cos x$ 变 $\tan x$），就要小心不要把它设为 $v$。

在实际练习中，不要死记硬背公式，多体会每次拆分后的变化。遇到像 $e^x (\sin x + \cos x)$ 这种结构，其实不需要分部也能看出是乘积形式的导数，这时候反而应该跳过步骤直接写答案，学会“识别”有时比“计算”更重要。希望这些总结能帮你在遇到棘手的积分题时找到突破口。

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