| 内容 | 在概率论与数理统计中，数学期望和方差是描述随机变量分布特性的两个重要指标。数学期望反映了随机变量的平均取值水平，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是关于数学期望和方差的几条常用公式，便于理解和应用。 一、数学期望的基本公式 | 公式 | 说明 | | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) $ | 离散型随机变量X的数学期望，其中$ x_i $为可能的取值，$ P(x_i) $为其对应的概率 | | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx $ | 连续型随机变量X的数学期望，其中$ f(x) $为概率密度函数 | | $ E(aX + b) = aE(X) + b $ | 线性性质，其中a、b为常数 | | $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $ | 期望的可加性，适用于任意两个随机变量X和Y |
二、方差的基本公式 | 公式 | 说明 | | $ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] $ | 方差的定义式，表示随机变量与其期望的平方偏差的期望 | | $ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 常用计算公式，便于实际计算 | | $ \text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X) $ | 线性变换后的方差公式，其中a、b为常数 | | $ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X, Y) $ | 两随机变量之和的方差公式，包含协方差项 | | $ \text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) - 2\text{Cov}(X, Y) $ | 两随机变量之差的方差公式 |
三、常见分布的期望与方差（简表） | 分布类型 | 数学期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ | | 两点分布（伯努利） | $ p $ | $ p(1 - p) $ | | 二项分布 $ B(n, p) $ | $ np $ | $ np(1 - p) $ | | 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ | | 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ | | 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ | | 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结 数学期望和方差是概率统计中不可或缺的概念，它们在数据分析、风险评估、金融建模等领域有着广泛的应用。掌握其基本公式及性质，有助于更深入地理解随机现象的规律性，并为后续学习如协方差、相关系数等概念打下坚实基础。 通过上述表格可以快速查阅各类随机变量的期望与方差表达式，便于在实际问题中进行应用和计算。 |